三角形的重心,垂心,外心,内心的定义及性质分别是什么
一、重心：三角形在三条中线的交点。
性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）
二、垂心：三角形垂心即三角形三边高的交点。
性质：
1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.
2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
3、 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。
三、内心：三条角平分线的交点。
性质：内心到三角形三条边的距离相等
延伸阅读
三角形的重心有什么性质
性质一、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
性质二、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
性质三、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。
性质四、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。
性质五、三角形内到三边距离之积最大的点
1三角形的重心
（1） 定义
三角形的三条中心线在一点上的交点称为三角形的重心。
（2） 重心特性
① 重心与边缘中心到相应顶点的距离之比为1∶2。
② 由重心和三角形的三个顶点组成的三个三角形的面积相等。
③ 从重心到三角形三个顶点的距离的平方和最小（等边三角形）。
④ 三角形的重心是从三角形内部到三角形三边的距离乘积最大的点。
2三角形的中心
（1） 定义
三角形的三个内角的平分线在一点上的交点称为三角形的中心。
（2）重 心的本性
① 三角形中心到三条边的距离等于三角形内接圆的半径。
② 内接圆半径计算$R$：三角形面积为$s$，注意$p$=$frac12$（$a$+$B$+$C$），然后$R$=$-压裂SP$。
③ 特别是，在直角三角形中，有$R$=$-frac12$（$a$+$B$-$C$）（$R$是三角形内接圆的半径）。
三角形的外重心
（1） 定义
三角形三条边的垂直平分线在一点上的交点称为三角形的外中心。
（2） 外重心的性质
① 从三角形的外中心到三角形的三个顶点的距离等于三角形的外接圆的半径。
② 锐角三角形的外中心在三角形中。
③ 直角三角形的外中心在斜边的中点。
④ 钝角三角形的外中心在三角形外。
⑤ 等边三角形的外中心和内中心是同一点。
三角形重心性质的几个例子
作出如下判断：
（1） 线段的中点是它的重心
（2） 三角形的三条中心线在一点相交，这就是三角形的重心
（3） 平行四边形的重心是两条对角线的交点
（4） 三角形的重心是其中心线的三等分
三角形的重心定理是什么
1)重心分中线成两段,它们的长度比为2:1.
2)三条中线将三角形分成六个小块,六个小块面积相等,也就是说重心和三顶点的连线,将三角形的面积三等分.[证明:用等底等高的三角形面积相等.高2倍底一倍的三角形面积等于高一倍底2倍的三角形面积]
2)材质均匀的三角形物体,他的重心就在几何重心上.也就是说,你可以从重心穿过一条线,手提这条线,而三角形物体保持水平.
三角形的五心
一定理
重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的
离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。它们都是三角形的重要相关点。
上述的几个结论早在欧几里得时代均已被人发现，欧几里得除垂心定理外，均把它们作为重要定理收集在自己的《几何原本》里，但后来关于三角形这些特殊相关点的诸多研究及由此得出的许多著名结论表明，遗漏垂心定理不能不算是《几何原本》作者的一个疏忽。这些性质都是可以直接用的啊
三角形重心的定义
三角形具有五心:外心，内心，垂心，旁心，重心。
1、外心:三角形三条边的垂直平分线的交点，也就是三角形外接圆的圆心，简称为外心；
2、内心:三角形三个内角平分线的交点，也就是三角形内切圆的圆心，简称为内心；
3、垂心:三角形三边上的高的交点，就是三角形的垂心；
4、旁心:三角形的一个内角平分线其它两个内角的外角的平分线的交点，也就是三角形旁切圆的圆心，简称为旁心；
压轴戏，重头戏往往在最后，我们最后来看什么是重心:
5、重心:三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心。
